Page 245 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 245

Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η . . .

1.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με x και f(x) 0
2
3
για κάθε x ώστε f'(x)=-4x f (x) και f(0)=1 .
α) Δείξτε ότι η g(x)= 1 -x είναι σταθερή
4
f(x)
β) Να βρείτε τον τύπο της f

2.
Nα αποδειξετε ότι ισχυουν ολες οι υποθεσεις του
Αν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν: f'(x)=g(x) και
θεώρηματος Rolle για την f.
g'(x)=-f(x) για κάθε x να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
φ(x)= f(x) 2 + g(x) 2 είναι σταθερή.

3.
Aν για τις συναρτήσεις f, g ισχύουν :
 Είναι παραγωγίσιμες στο
2
2
 f'(x)=g (x) και g'(x)=-f (x)
 f(0)=1 και g(0)=-2
Nα δειχθεί ότι η συνάρτηση h(x)=f (x)+g (x) είναι σταθερή
3
3
και να βρεθεί.

4.

v
Αν f(x)-f(y) x-y , v 2,για κάθε x,y , δείξτε ότι f
είναι σταθερή.

5.
Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g με χ (0, + )
ώστε: f'(x)+e g(x) =g'(x)+e f(x) =0 και f(1)=g(1)=0 .
α ) Δ ε ίξτε ότι οι f, g είναι ίσες.
β ) Δ ε ίξτε ότι η φ(x)=e -f(x) -x είναι σταθερή.
γ ) Να βρεθεί ο τύπος της f .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017