Page 250 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 250

25.

Έστω συνάρτηση f τρεις παραγωγίσιμη στο (0,+ ) με
2-x
f(1)=f''(1)=0, f( 1 ) 2 και τέτοια ώστε f'''(x)= x 3 για κάθε

x (0 ,+ )
Να αποδείξετε ότι f(x)=(x+1)× lnx για κάθε x ( 0 ,+ )

26.

Έστω μια συνάρτηση f: με f''(x)+f''(4-x)=2 για
κάθε x και f(2)=1 Να αποδείξετε ότι :

α) f'(x)-f'(4-x)=2x-4 , x
β) f(x)+f(4-x)=x -4x+6 , x
2

27.
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f: με

x
x
f(0)=3 και ( f(x)-1 )× f'(x)=e ×( e +1 ), για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι f (x)=2f(x)+e ×( e +2 ), για κάθε x
x
2
x

β) Να βρείτε τον τύπο της f.

28.

Έστω η συνάρτηση f:(0,+ ) με : f'(x)× f(x) = 1+f (x) ,
2
e x

για κάθε x και f(0)= 3
2 x
α) Να αποδείξετε ότι 1+f (x)=e +1 , για κάθε x
β) Να βρείτε τον τύπο της f .

29.
Δίνεται η συνάρτηση f:(0,+ ) για την οποία ισχύει

f(1)=e και x f x f x f x για κάθε x 0 .
α) Να βρείτε το f(0) .

β) Να αποδείξετε ότι f(x) '= f(x) , για κάθε χ>0
x x
γ) Να βρείτε τον τύπο της f

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017