Page 246 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 246

6.
Έστω συνάρτηση f:( 0 , ) ( 0 , ), παραγωγίσιμη στο
1
0, τέτοια ώστε f(1)=1 και f(x)× f' x =x για κάθε χ>0
1
a) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x)× f x είναι
σταθερή στο 0,
β) Να βρείτε τη συνάρτηση f(x)

7.
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο τέτοια ώστε:
π
f 2 0 , f' 2 2 και f 4 -x =-f'(x) για κάθε x (1)
α) Nα αποδείξετε ότι: f''(x)+f(x)=0 για κάθε x

β) Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση
2
2
[f(x)-2συνx] +[f'(x)+2ημx] είναι σταθερή στο .
γ) Να βρείτε τη συνάρτηση f(x)

8.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: 0, για την οποία
2
ισχύει f 1 και: f'(x)=f(x)× σφx για κάθε x 0,
6 2
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g x f x είναι σταθερή
x

στο 0, 2 .
β) Να βρείτε τον τύπο της f .

9.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: 0, για την
οποία ισχύει f(4)=4 e -2 - x
και: 2 x × f'(x)+f(x)=e για κάθε
x 0.
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=e x × f(x)- x είναι
σταθερή στο ( 0 , )
β) Να βρείτε τον τύπο της f .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017