Page 251 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 251

30.

Έστω μία συνάρτηση f: * με f'(1)=3 για την οποία
ισχύει f(x y)=f(x)+f(y) για κάθε x,y *

a) Nα δ ε ίξετε ότι f είναι παραγωγίσιμη στο *
β) Να βρείτε τον τύπο της f.

31.
Έστω ότι οι συναρτήσεις f, g δύο φορές παραγωγίσιμες

στο που ικανοποιούν τις παρακάτω σχέσεις :
 f''(x)=g''(x)
 f(0)=g(0)

Nα αποδείξετε ότι:
α) f(x)-g(x)=c x, για κάθε x και c σταθερά.

β) Αν η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο ρίζες ε τ ε ρ όσημες ρ , ρ
1
2
με τότε η εξίσωση g(x)=0 έχει τουλάχιστον μια
1 2
ρίζα στο [ρ , ρ ].
1 2

32.
Να βρεθεί συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο με f(x)>0 για

κάθε x , της οποίας η γραφική παράσταση σε κάθε
σημείο της M(x, f(x)) έχει εφαπτομένη με συντελεστή

διεύθυνσης 4x f(x) για κάθε x και ισχύει f(1)=9.

33.
Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: με :
f'(x)=g(x) και g'(x)=-f(x), για κάθε x

Να αποδείξετε ότι :
α) οι f και g έχουν συνεχή δ ε ύτερη πάραγωγο .

β) f''(x)+f(x)=g''(x)+g(x)=0 , για κάθε x
γ) η συνάρτηση h(x)=f (x)+g (x) είναι σταθερή .
2
2

δ) Αν f(x) 0, για κάθε x (x ,x ), οπου x ,x είναι ρίζες
1
2
2
1
της f(x)=0 , τότε η εξίσωση g(x)=0 έχει μία μόνο ρίζα

στο διάστημα (x ,x ) .
1
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017