Page 248 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 248

13.
Έστω f, g συναρτήσεις δύο φορές παραγωγίσιμες στο

ώστε: f''(x)× g(x)=f(x)× g''(x), f'(0)× g(0)=f(0)× g'(0) και
g(x) 0 για κάθε x .

Δ ε ίξτε ότι υπάρχει λ ώστε f(x)=λ× g(x) για κάθε x .

14.

Έστω συνάρτηση f δύο φ ο ρές παραγωγίσιμη στο για την
οποία ισχύουν οι σχέσεις:
f(0)=0, f'(0)=1 και f''(x)-2f' (x)+f(x)=0 για κάθε x .

Nα βρείτε τη συνάρτηση f(x)

15.
Έστω συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την
οποία ισχύουν οι σχέσεις:
2
f(0)=f'(0)=1 και f''(x)-f' (x)=6x 3 x για κάθε x .
Nα βρείτε τη συνάρτηση f(x)

16.
Έστω συνάρτηση f δύο φορές πάραγωγίσιμη στο (1,+ ) με

-1
2
f(e)=1, f' (e)=e και τέτοια ώστε f(x)=-f''(x)× x × lnx για
κάθε x (1,+ ).

Να αποδείξετε ότι f(x)=lnx για κάθε x (1 ,+ ).

17.
Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη
στο (0 ,+ ) για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

2
f'(1)=f(1)=e+4 και f''(lnx)=x+12× ln x για κάθε x (1,+ )
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x)

18.
2x-1 , x< 0
Αν f'(x)= 3x -1, x 0 και f(1)= 2,
2

να βρειτε τη συνάρτηση f(x).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017