Page 252 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 252

34.

Μία συνάρτηση f: είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και
ικανοποιεί τη σχέση :

2
( x +1 )× f''(x)+4x× f'(x)+2× f(x)=0, για κάθε x
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g με τύπο
2
g(x)=2x× f(x)+(x +1)× f'(x) είναι σταθερή στο
β) Αν η γραφική παράσταση C της f δ ι έρχεται από την
f
αρχή των αξόνων και η εφαπτομένη τους στο σημείο
είναι παράλληλη με την ευθεία :
( ε ):2x-y-2017=0 να βρείτε τον τύπο της f .

35.
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [0,2 ] και δύο φορές πα-

ραγωγίσιμη στο (0,2) με :
2
f'(x) +f(x)× f''(x)+1=0, για κάθε x (0,2 )
Αν f'(1)=0 και f(1)=1

2
2
α) Να αποδείξετε ότι f (x)=2x-x , για κάθε x (0,2 )
β) Να βρείτε τον τύπο της f .

γ) Αν Μ , Ν είναι τυχαία σημεία της C , να αποδείξετε ότι
f
( MN ) 2 .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017