Page 257 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 257

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

1.
Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παρα-

γωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήηματος Δ και ισχύει
f'(x) 0 (f'(x) 0), τότε είναι γνησ'ιως αύξουσα (φθίνουσα)
στο διάστημα Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

 Aν f'(x) 0

Έστω χ 1, χ 2 Δ με χ 1< χ 2.
Θα δείξουμε ότι

f(x 1) f(x 2)
Πράγματι

στο διάστημα [χ 1, χ 2] ικα-

νοποιούνται οι υποθέσεις

του Θ.Μ.Τ. για την f.
Επομένως,

υπάρχει ξ ( χ 1, χ 2)τέτοιο,

ώστε
f'(ξ) f(x )-f(x ) `
2
1
x -x 1
2
f(x )-f(x )= f'(ξ) (x -x )
2 1 2 1
Όμως
f'(ξ) 0
~ f(x )-f(x ) 0 ` f(x ) f(x )
x -x 1 0 2 1 1 2
2

 Όμοια, αν f'(x) 0,
η fείναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ.

2.
Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και "1-1" στο διάστημα Δ,
τότε είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στο διάστημα Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.

Η f είναι "1-1", οπότε υπάρχουν χ 1, χ 2, χ 3 Δ με χ 1<χ 2<χ 3 τότε

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017