Page 258 - diaforikos
P. 258

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             258



                   δεν ισχύει f( χ   1)<f( χ  2)<f(χ 3)
                   Aν ισχύει
                   f(χ 1)<f(χ 3)<f(χ 2)
                   και αφού η f συνεχής στο δι-

                   άστημα [χ 1, χ 2], σύμφωνα με
                   τ ο  Θ.Ε.Τ., υπάρχει ξ       ( χ 1, χ 2)τ
                   έτοιο, ώστε
                                  f   "1 -1"
                   f(ξ)=f(χ 3) `  ξ=χ 3, άτοπο
                   αφού χ 1<ξ<χ 2<χ 3
                   'Ομοια, άτοπο προκύπ τ ει σε
                   όλες δυνατές περιπτώσεις
                   (εξετάσαμε τυχαία   περίπτω-
                   ση).
                   Συνεπώς, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
                   Ανάλογα, δείχνουμε ... η f γνησίως φθίνουσα.



                      3.
                      Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στα
                      διαστήματα [α, β] και [β, γ], τότε είναι γνησίως αύξουσα

                      (φθίνουσα) και στο διάστημα [α, γ].

                   ΑΠΟΔΕΙΞΗ

                    Aν f γνησίως αύξουσα στα

                      [α, β] και [β, γ]

                      Έστω χ 1    (α, β), χ 2    (β, γ)
                      με χ 1<χ 2.

                      Θα δείξουμε ότι

                      f(x 1)<f(x 2)

                      Πράγματι,
                      είναι

                      χ 1<β<χ 2<  γ  και από τον ο-

                      ρισμό της γνησίως αύξου-

                      σας συνάρτησης   προκύ-
                      πτει


                       x             f(x )< f(β)
                          1       ~      1                  ~f(x )  f(x )
                                                                   1
                                                                            2
                      β< x
                           2         f(β)< f(x )      f(γ)
                                                 2

                      Συνεπώς, η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα

                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   253   254   255   256   257   258   259   260   261   262   263