Page 258 - diaforikos
P. 258
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 258
δεν ισχύει f( χ 1)<f( χ 2)<f(χ 3)
Aν ισχύει
f(χ 1)<f(χ 3)<f(χ 2)
και αφού η f συνεχής στο δι-
άστημα [χ 1, χ 2], σύμφωνα με
τ ο Θ.Ε.Τ., υπάρχει ξ ( χ 1, χ 2)τ
έτοιο, ώστε
f "1 -1"
f(ξ)=f(χ 3) ` ξ=χ 3, άτοπο
αφού χ 1<ξ<χ 2<χ 3
'Ομοια, άτοπο προκύπ τ ει σε
όλες δυνατές περιπτώσεις
(εξετάσαμε τυχαία περίπτω-
ση).
Συνεπώς, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.
Ανάλογα, δείχνουμε ... η f γνησίως φθίνουσα.
3.
Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στα
διαστήματα [α, β] και [β, γ], τότε είναι γνησίως αύξουσα
(φθίνουσα) και στο διάστημα [α, γ].
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Aν f γνησίως αύξουσα στα
[α, β] και [β, γ]
Έστω χ 1 (α, β), χ 2 (β, γ)
με χ 1<χ 2.
Θα δείξουμε ότι
f(x 1)<f(x 2)
Πράγματι,
είναι
χ 1<β<χ 2< γ και από τον ο-
ρισμό της γνησίως αύξου-
σας συνάρτησης προκύ-
πτει
x f(x )< f(β)
1 ~ 1 ~f(x ) f(x )
1
2
β< x
2 f(β)< f(x ) f(γ)
2
Συνεπώς, η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017