Page 260 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 260

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

 H f είναι γνησίως αύξουσα
(φθίνουσα) στο διάστημα A
συνεπώς
η f είναι "1-1", στο διάστη-

μα αυτό και αντιστρέφεται.
 Η f - 1 έχει πεδίο ορισμού το
f(A).
Έστω ότι η f - 1 δεν είναι γνη-
σίως αύξουσα στο f(A),
συνεπώς θα υπάρχουν

y 1, y 2 f(A) με
y 1 y 2 f
~
1
1
f (y ) f (y )
1
2
y 1 y 2 f(f 1 (y)) y y 1 y 2
~
f(f (y )) f (f (y )) για καθε y f(A) y y
1
1
1 2 1 2
άτοπο και η f - 1 είναι γνησίως αύξουσα στο f(A).
 Α ν άλογα, δείχνουμε ... η f - 1 γνησίως φθίνουσα ...

6.
Αν μία συνάρτηση f:Α είναι γνησίως αύξουσα στο διά-
στημα Α, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=f -1 (x) είναι

ισοδύναμη με την εξίσωση f(x)=x.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

 Aν ρ Α είναι μία ρίζα της
f(x)=f - 1 (x), τότε
f(ρ)=f - 1 (ρ) και αρκεί να
δείξουμε ότι ισχύει f(ρ)=ρ
 Έστω f(ρ)>ρ
(ομοια f(ρ)<ρ) μ ε

ρ Α, ρ f(Α) και f(ρ) Α
f(ρ) f 1 (ρ)
f(ρ)> ρ ~ f (ρ)> ρ
1
f
~ f f (ρ))>( 1 f(ρ)

f(f 1 (ρ))
~ ρ> f(ρ)
για καθε ρ f(A)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017