Page 261 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 261

άτοπο
άρα f(ρ)=ρ, δηλαδή ρ είναι ρίζα της f(x)=x και αφού ρ ρίζα
της f(x)=f - 1 (x), τότε οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες.
Α ν τ ι σ τ ρ ο φ α

 Aν ρ Α (και ρ f(Α)) είναι μία ρίζα της f(x)=x τότε
f(ρ)=ρ (1)
και
f 1 f 1 (f(ρ))
f(ρ)= ρ ~ f (f(ρ))= f (ρ) ~ ρ= f (ρ 1 )~ f(ρ)= f (ρ)
1
-1
1
αφου f για καθε ρ f(A)
δηλαδή ρ είναι ρίζα f(x)=f - 1 (x) και αφού ρ ρίζα της f(x)=x,
τότε οι δύο εξισώσεις είναι ισοδύναμες.

7.
Αν για κάθε χ 1 , χ 2 Δ, μια συνάρτηση f: Δ είναι

α) γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, ισχύει:
χ 1 < χ 2 ` f(χ 1 ) < f(χ 2 )
β) γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ, ισχύει:
χ 1 < χ 2 ` f(χ 1 )
> f(χ 2 )
γ) "1-1" στο διάστημα Δ, ισχύει: f(χ 1 ) = f(χ 2 ) ` χ 1 = χ 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

α )
Ε υ θ ύ
Ισχύει από τον ορισμό της
γνησίως αύξουσας συνάρτη-
σης
Α ν τ ί σ τ ρ ο φ ο

Είναι f(χ 1) < f(χ 2)
 Έστω
f
χ 1 = χ 2 ~ f(χ 1) = f( χ 2)
ορισμος
άτοπο
αφού f(χ 1) < f(χ 2)
 Έστω
f
χ 1 > χ 2 ~ f( χ 1) > f(χ 2)
ορισμος
άτοπο αφού f(χ 1) < f(χ 2)
Συνεπώς χ 1 < χ 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017