Page 265 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 265

2. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ (ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ)
Να μελετηθεί, ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση με τύπο
f(x)=2χlnχ-x +1
2

● Πεδίο ορισμού :
Π ρ έπει χ>0
τότε
Α f=(0, + )
● Για κάθε χ (0, + )
f'(x)=(2xlnx-x 2 +1)'

= 2lnx+2-2x
f''(x)=(2lnx+2-2x)'

2 2-2x
= -2 =
x x
2
= (1-x)
x
● Aφου x>0
● f''(x)>0`1-x>0`x<1
● f''(x)<0`1-x<0`x>1
● Το προσημο τω ν f'', f' και η μονοτονία της f φαίνονται στον
παρακάτ ω πίνακα

χ<1: f'(χ)< f'(1)=0 (γν. αύξουσα)
χ>1: f'(χ)< f'(1)=0 (γν. φθίνουσα)

Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού
της.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017