Page 270 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 270

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
f(x)=χ +1+ln(x +1), χ [-4, + )
2

α) Να μελετηθεί, ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f
β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f

● Πεδίο ορισμού :
Α=[-4, + )
α )
● Για κάθε χ [-4, + )
● η f είναι συνεχής
(πράξεις συνεχών)

● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με
f'(x)=(x+1+ln(x 2 +1))'

(x 2 +1)'
= 1+
x 2 +1

= 1+ 2x
x 2 +1
x 2 +2x+1
=
x 2 +1

(x+1) 2
= 0
x 2 +1
(η ισότητα ισχύει για χ=-1)

β )
● Είναι
● f(-4)=-4 +1+ln((-4) +1)=-3 + ln17
2
● lim f(x)= lim (x+1+ln(x +1))= +
2
x + x +
αφού η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο
Α=[-4, + ) , το σύνολο τιμών της είναι
f(A)=f([-4, + ))=[-3 + ln17, + )

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017