Page 275 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 275

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ (ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΙΚΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ)

Δ ο σ μ έ ν α
● Η προς απόδειξη ανισοτική σχέση

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η

● Στη περίπτωση " μορφη f(x)>g(x), f(x) g(x),... "
● Φέρνουμε όλους τους όρους της ανίσωσης στο πρώτο
μέλος και προκύπτει f(x)-g(x)>0 η f(x)-g(x) 0
● Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο
h(x)= f(x)-g(x), χ (α, β)
● μελετούμε τη μονοτονία της συνάρτησης h στο πεδίο
ορισμού της
● προσδιoρίζουμε x 0 (α, β), τέτοιο ώστε h(x 0 )=0 (συνή-
θως είναι το σημείο που αλλάζει το πρόσημο της h')
τότε
● η h είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, x 0 ), για χ < x 0,
h(x)> h(x 0 )=0 ` f(x)-g(x)>0 ` f(x)>g(x)
● η h είναι γνησίως αύξουσα στο (x 0 , β), για χ > x 0, τότε
h(x)> h(x 0 )=0 ` f(x)-g(x)>0 ` f(x)>g(x)
● αν το κάτω άκρο του συνόλου τιμών είναι μεγαλύτερο

ή ίσο με 0, τότε: h(x)>0 ` f(x)-g(x)>0 ` f(x)>g(x)
● Στη περίπτωση " μορφη f(x)<g(x), f(x) g(x),... "
● Φέρνουμε όλους τους όρους της ανίσωσης στο πρώτο
μέλος και προκύπτει f(x)-g(x)<0 η f(x)-g(x) 0
● Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τυπο
h(x)= f(x)-g(x), χ (α, β)
● μελετούμε τη μονοτονία της συνάρτησης h στο πεδίο
ορισμού της

● προσδιoρίζουμε x 0 (α, β), τέτοιο ώστε h(x 0 )=0 (συνή-
θως είναι το σημείο που αλλάζει το πρόσημο της h')
● η h είναι γνησίως αύξουσα στο (α, x 0 ), για χ < x 0, τότε
h(x)< h(x 0 )=0 ` f(x)-g(x)<0 ` f(x)<g(x)
τότε
● η h είναι γνησίως φθινουσα στο (x 0 , β ) , για χ>x 0,
h(x)< h(x 0 )=0 ` f(x)-g(x)<0 ` f(x)<g(x)
● αν το πάνω άκρο του συνόλου τιμ ών είναι μικρότερο ή

ίσο με 0, τότε: h(x)<0 ` f(x)-g(x)<0 ` f(x)<g(x)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017