Page 278 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 278

3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ
Να αποδείξετε ότι
lnχ x - 1, για καθε χ (0, + )

● Πεδίο ορισμού :
Α=(0, + )
● Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=lnx-x+1, x>0
● Για κάθε χ (0, + )

● η f είναι συνεχής
(πράξεις ...)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις ...) με
f'(x)=(lnx-x+1)'
1 1-x
= -1 =
x x
● f'(x) 0`1-x 0`x 1
● f'(x)<0`1-x<0`x>1
πινακας προσημου της f'
● H f γνησίως αύξουσα στο
(0, 1]
● H f γνησίως φθίνουσα
στο [1, + )
● f(1)= ln1-1+1=0-0+0=0

● H f γνησίως αύξουσα στο (0, 1] και
lim f(x)= lim (lnx-x+1)=
x 0 x 0
f(A 1)=f((0, 1])=( lim f(x), f(1))=(- , 0]
x 0
● H f γνησίως φθίνουσα στο [1, + ) και

lim f(x)= lim (lnx-x+1)=
x + x +
f(A 2)=f([1, + ))=( lim f(x), f(1))=(- , 0]
x +
Σύνολο τιμών :
f(A)=f((0, + ))=f(A 1) ∪ f(A 2)=(- , 0] ∪ (- , 0]=(- , 0]
Έτσι, για κάθε χ (0, + )
f(x) 0 ` lnx-x+1 0 ` lnχ x - 1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017