Page 277 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 277

2. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ
Να αποδείξετε ότι
2e > -x + 2x + 2, για κάθε χ (0, + )
χ
2

● Πεδίο ορισμού :
Α=(0, + )
● Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)=2e +x -2x-2, x>0
χ
2
● Για κάθε χ (0, + )
● η f είναι συνεχής
(πράξεις ...)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις ...) με
f'(x)=

χ
=( 2e + x -2x-2)'
2

= 2e 2x 2
χ
= 2 (e + x-1) 0
αφού

2>0 και e + x-1 0 (*)
χ

● H f γνησίως αύξουσα στο (0, + ]

● lim f(x)= lim ( 2e + x -2x-2 )=2 e + 0 -2 0-2=0
2
0
χ
2
x 0 x 0
● lim f(x)= lim ( 2e + x -2x-2)=2 lim (e χ )+ lim ( x 2 )= +
χ
2
x + x + x + x +
Σύνολο τιμών :
f(A)=f((0, + ))=( lim f(x), lim f(x))=(0, + )
x 0 x +
Έτσι, για κάθε χ (0, + )
f(x)>0 ` 2e + x - 2x - 2 > 0 ` 2e > -x + 2x + 2
χ
2
2
χ

(*)
Από το προηγούμενο παράδειγμα ισχύει

χ > 0
e x + 1 ~e > x + 1 -2 χ ~ e >-x + 1 ~ e + x - 1 > 0
x
x
x
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017