Page 243 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 243

3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΧΕΣΗΣ
Δίνεται η συνάρτηση f: με f(0)=1 και f(x)>0, για την
οποία ισχύει
f'(x) = f(x)lnf(x), για κάθε χ
Να αποδείξετε ότι
f(χ)=1, για κάθε χ

Η δοσμένη σχέση γίνεται
διαδοχικά:
f(x) 0
f'(x)= f(χ) lnf(x) `
f'(x) = lnf(x) `

f(χ)
[lnf(x)]' = lnf(x)

για κάθε χ (1)

Έστω η συνάρτηση
h(x)=lnf(x)
για την οποία ισχύει
h(0)=lnf(0)=ln1=0
και η (1) γίνεται
(*)
h'(x)=h(x) ` h(x)=c e (2)
x

Για χ=0 η (2) δίνει
h(0)=c e ` 0=c 1 ` c 0
0

Έτσι η (2)
h(x)=0 ` lnf(x) =0 ` f(x) =1 , x

(*)
Για κάθε χ

f’(x)=f(x)` f’(x) - f(x)=0 ` e - x f’(x) - e - x f(x)=0
` (e - x f(x))’=0 (1)
Επομένως, υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε x η (1)
γίνεται:
e - x f(x)=c` f ( x ) = c e
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017