Page 215 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 215

38.
● Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για τη
συνάρτηση f με f(x)=x -x +4x-3 στο διάστημα [0, 1]
2
3
● Αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ., να βρείτε ξ (0, 1)
τέτοιο ώστε f'(ξ)=f(1)-f(0)
● Nα αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ευθεία (ε) της C f στο
σημείο Μ(ξ, f(ξ)), είναι παράλληλη στη τέμνουσα της C f ,

ευθεία δ: 4χ-y+2017=0.

39.
3-χ 2 , χ 1
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2
1 , χ> 1
χ
Nα αποδείξετε ότι η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ.
στο [0, 2] και να βρείτε τα σημεία ξ (0, 2) για τα οποία
ισχύει.

40.
αχ -β , χ 1
2
Δίνεται η συνάρτηση f(x)= χ -βχ , χ< 1
3

για την οποία ισχύει το Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [-1, 2].
α) Nα βρείτε τις τιμές των α και β
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο Μ(ξ, f(ξ)) με
ξ (-1, 2) στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στη
διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζουν οι ημιάξονες Οχ,
Οy.

41.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x×lnx .
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει
α ) ξ (1, e) τέτοιο ώστε: f'(ξ)= e
e-1
β ) κ (e, e ) τέτοιο ώστε: κ= e e+2
2
e -1

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017