Page 211 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 211

22.
Nα αποδείξετε ότι εξίσωση χ + 2 χ 2 + 3×χ + α, με α , έχει
3
ακριβώς μια πραγματική ρίζα .

23.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο με
f 2 ln2 f 2 0 2 . Να δείξετε ότι η εξίσωση f'(x) f(x)=e
x
έχει μία τουλάχιστον λύση στο 0, ln2 .

24.
Έστω η συνάρτηση f: παραγωγίσιμη στο και υπάρ-

χουν πραγματικοί α<β τέτοιοι ώστε f f 1 .
e e
Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (α, β) τέτοιο
ώστε f'(ξ)e -ξ =1 .

25.
Έστω η συνάρτηση g:[0, π] παραγωγίσιμη στο [ 0, π ] με
g(0)=g(π).
(Για τη σχέση g(0)=g(π), εναλλακτικά : “ Υπάρχει οριζόντια

ευθεία που τέμνει το C στα σημεία A(0, g(0)) και
g
B(π, g(π)) ”
Θεωρούμε ακόμη τη συνάρτηση f(x)=e ημx g(x), x [0, π] .
Να αποδείξετε ότι :
α) Για τη συνάρτηση f υπάρχει μια τουλάχιστον οριζόντια
εφαπτομένη στο σημείο M(x , f(x )) με x 0 (0, π) .
0
0
β) Η εξίσωση g(x)× συνx+g'(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα
στο (0, π) .

26.
Έστω η συνάρτηση f:[a, b] παραγωγίσιμη στο [a, b] .
Ζητείται να δειχτείι ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
k (a,b): f k = a+b-2k .
(k-a)(k-b)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017