Page 217 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 217

48.
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με f(19)=f(1)

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 (1, 19), διαφορετι-
κά ανα δύο, έτσι ώστε να ισχύει:

f'(ξ 1 )+2 f'(ξ 2 )+ 3 f'(ξ 3 )=0

49.
Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο .
Αν οι αριθμοί f(2), f(4), f(6) είναι διαδοχικοί όροι αριθμη-
τικής προόδου, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας, τουλάχι-

στον ξ (2, 6), έτσι ώστε να ισχύει: f'’(ξ)=0

50.

Αν α<β, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=ημχ
ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [α, β] και
στη συνέχεια ότι ισχύει:
|ημβ-ημα| | β -α |

51.

Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [0, 1] με f(0)=0
και f(1)=1.
Να δείξετε ότι

a) υπάρχει ξ (0, 1),τέτοιο, ώστε f(ξ)= 1

2
1 1

β) υπάρχουν χ 1 , χ 2 (0, 1): f'(χ ) + f'(χ ) = 2
1 2

52.

χ
χ
χ
χ
Να λύσετε την εξίσωση 7 +8 =6 +9

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017