Page 25 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 25

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x = 0 με
f'(0)=α και για κάθε x, y είναι:
f(x+y)=f(x) f(y)-xy, με f(0) 0
0
να δείξετε ότι: f'(x 0)=αf(x 0)- x 0 για κάθε x 0

Για χ=y=0 η σχέση γίνεται

f(0) 0
f(0)=f (0)-0 2 f(0) [f(0)-1]=0 f(0)=1 (1)
2

● Στη θέση χ 0=0:
f(x)-f(0) (1) f(x)-1

f'(0)= lim = lim =α (2)
x 0 x-0 x 0 x

● Στη θέση χ 0 0:

Θέτουμε: u=x-x 0 οπότε όταν χ x 0 τότε u 0
Έτσι

f '(x ) = lim f(x)-f(x )
0
0 x x 0 x-x 0
f(x +u)-f(x )
= lim 0 0
u 0 u
f(x + y) = f(x)f(y) - xy f(x )f(u)-x u-f(x )
= lim 0 0 0
u 0 u

= lim f(x )(f(u)-1)-x u
0
0
u 0 u
f(x )(f(u)-1) x u
= lim 0 - lim 0
u 0 u u 0 u

f(u)-1
= f(x )lim u -x lim1

0
0
u
u
0
0
(2)
=f(x )× α -x 0
0

= αf(x )-x 0
0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017