Page 27 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 27

3.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x = 0, να
βρείτε την f'(0), αν για κάθε x ισχύει:
f (x)-4ημχ×f(χ)+ημ 2χ=0.
2
2

Για χ=0 η δοσμένη σχέση

γίνεται
2
2
f (0)-4ημ0× f(0)+ημ 0

ημ0 = 0
= 0

f (0)= 0 f(0)= 0 (1)

2
● Είναι

f '(0) = lim f(x)-f(0)
x 0 x-0

= lim f(x)-0
x 0 x-0

= lim f(x) = α (2)
x → 0 x

● Διαιρούμε τη δοσμένη σχέση με χ :
2
2
2
f (x) - 4ημxf(x) + ημ 2x = 0
x 2 x 2 x 2
2 2
f(x) -4× ημx f(x) +4× ημ2x = 0 (3)
×
x x x 2x

● Παίρνουμε το όριο της (3) με χ 0
f(x) 2 ημx f(x) ημ2x 2 (2 )
lim -4× lim × lim +4× lim = 0
ημx
x 0 x x 0 x x 0 x x 0 2x x lim 0 x = 1

α -4× 1× α+4× 1 2 = 0
2

α -4α+4= 0
2

(α-2) 2 = 0

α-2= 0

α= 2

Τελικά απο (2): f'(0)=2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017