Page 22 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 22

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
x 2 +2 x 1
f(x)=
αx+β x 1
Να προσδιορίσετε τα α,β , ώστε η συνάρτηση f να είναι
παραγωγίσιμη στη θέση x 0 = 1.

Αφού η συνάρτηση f είναι
παραγωγίσιμη στη θέση

x 0 = 1 είναι και συνεχής

στη θέση αυτή.
Έτσι,

lim f(x)= lim f(x)= f(1)`
x 1→ x 1→
α+β= 3 (1)

Ακόμη

L= lim f(x)-f(x )
0
x x 0 x-x 0
→

2
= lim x +2-f(1)
x 1 x-1
→

(1) x +2-3 x -1 (x-1)(χ+1)
2
2

= lim = lim = lim = lim(χ+1)= 1+1= 2
x 1 x-1 x 1 x-1 x 1 x-1 x 1
→
→
→
→

(1)
lim f(x)-f(x ) = lim αx+β-f(1) = lim αx+β-3
0
x x 0 x-x 0 x 1 x-1 x 1 x-1
→
→
→
(1) (x-1)
= lim αx-α = lim = lim α= α
3 ` 3 x 1 x-1 x 1 x-1 x 1
→
→
→
Αφού η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x 0 = 1
f(x)-f(1) f(x)-f(1)
lim lim ` α= 2

→
x 1 x-1 x 1 x-1
→
Από την (1) προκύπτει: β=1

Οι τιμές α=2, β=1 επαληθεύουν τις σχέσεις συνέχειας και πα-
ραγωγισιμότητας.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017