Page 26 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 26

2.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη θέση x = 1 με
f'(1)=α και για κάθε x, y είναι:
f(x×y)=f(χ)×f(y), με f(1) 0
αf(χ )
να δείξετε ότι: f'(x 0)= 0 για κάθε x 0 0
χ 0

Για χ=y=1 η σχέση γίνεται
f(1) 0

f(1)=f (1) f(1) [f(1)-1]=0 f(1)=1 (1)
2

● Στη θέση χ 0=1:

f(x)-f(1) (1) f(x)-1
f'(1)= lim x-1 =lim x-1 =α (2)

x 1
x 1

● Στη θέση χ 0 1:
Θέτουμε: u= x οπότε χ=χ 0 u και όταν χ x 0 τότε u 1
x
0
Έτσι

f(x)-f(x )
f '(x ) = lim 0

0
x x 0 x-x 0

= lim f(x 0 u)-f(x )
0
u 1 x u-x
0 0
f(x y) = f(x)f(y) f(x )f(u)-f(x )
= lim 0 x (u-1 ) 0

u
1
0
0
= lim f(x ) [f(u)-1]
u 1 x (u-1 )
0
f(x ) f(u)-1
= 0 × lim
x 0 u 1 u-1

(2 )

= f(x ) ×
0
x
0
αf(x )

= x 0

0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017