Page 30 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 30

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Για τη συνάρτηση f ισχυει:
4χ-χ 2 -1 º f(x) º 1+χ , για καθε x
2
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη

θέση x 0 = 1 και να υπολογισετε το f'(1) .

Για χ=1 η δοσμένη σχέση γίνεται:

4× 1-1 2 1 f(1) 1+1 2 2 f(1) 2 f(1)=2 (1)

● Για χ<χ 0`χ<1`χ-1<0 η
δοσμένη σχέση διαδοχικά

4χ-χ 2 -1ºf x º 1+χ 2
( )

4χ-χ 2 -1-2º f x -2
( )

º 1+χ 2 2

( ) -2
-χ 2 +4χ -3 º f x
1 1

χ 2 1
º 1

( )
( 1 )(3- χ) f x -2
1 º 1

(χ 1 )( 1 ) f x -2
( )
º 3- χº º 1 (2)
1 1
● Όμοια για χ>χ 0`χ-1>0 η δοσμένη σχέση διαδοχικά
f x) -2
(
... ` 1 º º 3- χ (3)
1
lim (3- χ ) 3 1 2 και lim ( χ+1 ) 1 1 2
x 1
x 1

Άρα, από κριτήριο παρεμβολής στις (2), (3) προκύπτει

lim f x -2( ) 2 ` lim f( )x -f(1) 2 ` f' 1( ) 2
x 1 1 x 1 1

Σ χ ό λ ι ο

Στο σχήμα φαίνονται οι τρεις συναρτήσεις (f(x), g(x)= 4χ-χ 2

-1, h(x)= 1+χ ) και οι αντίστοιχες παράγωγοι (συντρέχουν στο
2
σημείο (1, 2)).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017