Page 35 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 35

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Για τη συνάρτηση f, που είναι συνεχής στη θέση x 0 = 1,
ισχύει:
f(χ)
lim x-1 = 7
x 1
Να απόδειξετε ότι

 f(1) = 0
 f'(1) = 7

● Θέτουμε g(x)= f(x) ,
x-1

οπότε

lim g(x)= 7
x 1
f(x)=(x-1)× g(x)

Είναι
lim f(x)= lim [(x-1)× g(x)]
x 1 x 1

= lim (x-1)× limg(x)

x 1
x 1

= 0× 7= 0 (1)

Όμως

η f είναι συνεχής στο χ 0=1,

συνεπώς
( 1 )
lim f(x)= f(1) f(1)= 0 (2)
x 1
f(x)-f(1) ( 2 ) f(x)
lim = lim
x 1 x-1 x 1 x-1
υποθεση

= 7 f '(1)= 7

Σ χ ό λ ι ο

Στο σχήμα φαίνονται οι δύο συναρτήσεις (f(x), g(x)= f(x) ) και
x-1
οι αντίστοιχες παράγωγοι και τα ζητουμένα.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017