Page 33 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 33

4.
Έστω οι πραγματικές συναρτήσεις f, g που είναι παραγω-
γίσιμες στο 1 και για τις οποίες ισχύει:
 f(x) º g(χ) + 3χ -1, για καθε x
 f(1) = g(1) + 2
Να αποδ ε ίξετε ότι : f'(1) = g'(1) + 3

Οι συναρτήσεις f, g είναι

παραγωγίσιμες στο χ-1,

οπότε

f'(1)= lim f(x)-f(1)
x 1 x-1
g(x)-g(1) (1)
g'(1)= lim
x 1 x-1
Από τα δοσμένα

f(x) g(x)+3x-1

f(1)=g(1)+2
Άρα

f(x)-f(1) g(x)+3x-1-g(1)-2`

f(x)-f(1) g(x)-g(1)+3(x-1) (2)
Διαιρούμε τ α μέλη της (2) διά χ-1

● Για χ>1`χ-1>0 η (2) γίνεται:
(1)
f(x)-f(1) g(x)-g(1)+3(x-1) ` f(x)-f(1) g(x)-g(1) +3 `
χ-1 χ-1 χ-1 χ-1

f'(1) g'(1)+3 (3)

● Για χ<1`χ-1<0 η (2) γίνεται:

(1)
f(x)-f(1) g(x)-g(1)+3(x-1) ` f(x)-f(1) g(x)-g(1) +3 `
χ-1 χ-1 χ-1 χ-1

f'(1) g'(1)+3 (4)

Από (3) και (4) προκύπτει:
f'(1)=g'(1)+3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017