Page 31 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 31

2.
Έστω η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο και ισχύει:
ημχ-χ º f(x) º ημχ+χ , για κάθε x
2
2
Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στη
θέση x 0 = 0.

● Για χ=0 η δοσμένη σχέση

γίνεται

ημ0-0 2 f(0) ημ0+0 2

0 f(0) 0 f(0)=0 (1)

● Για χ>0, διαιρώντας με χ,
η δοσμένη σχέση γίνεται:
ημx-x 2 f(x) ημx+x 2

x x x

( * ) lim f(x) = 1
x 0 + x

● Για χ<0, διαιρώντας με χ,
η δοσμένη σχέση γίνεται:
2 2 ( * )
ημx-x f(x) ημx+x lim f(x) =1
x x x x 0 - x
Δηλαδή,
f(x)
lim = 1 (2)

x 0 x

ημx-x 2 ημx
lim = lim -x = 1-0= 1
x 0 x x 0 x
(*)
ημx+x 2 ημx
lim = lim +x = 1+0= 1
x 0 x x 0 x

Έτσι

Ετσι
f(x)-f(0) ( 1 ) f(x)-0 f(x) ( 2 )
f '(0) = lim = lim = lim = 1
x 0 x-0 x 0 x-0 x 0 x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017