Page 17 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 17

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1.
Να εξετάσ ε τε αν είναι παραγωγίσιμες στη θέση x 0 οι συν-
αρτήσεις ( Να βρείτε, αν υπάρχει, η παράγωγος της συν-
άρτησης στη θέση x 0 )

α) f(x)=χ+συν2χ, x 0 = 0
2
β ) g(x)= x -x+2 x 1 , x = 1
2
2x -3x+3 x> 1 0
γ) h(x)=|χ-1|+|χ-2|, x 0 = 1, x 0 = 2
δ ) r(x)= × x, x 0 = 0

2
ε) t(x)=χ s(x)-xs(x), x 0 = 1 οπου s συνεχής συνάρτηση
στο 1

α )
Είναι

Α = §
f

f(0)= 0+συν0= 1 (1)

lim f(x)-f(x ) =
0

x-x
x 0
→
0

= lim x+συν2x-f(0)
x 0 x-0
→
(1)

= lim x+συν2x-1
x 0 x
→

= lim 1- 1-συν2x
x 0 x
→
(*)
=1 0 1
(*)

lim 1-συν2x lim 2(1-συν2x) 2 lim (1-συν2x)
x 0→ x x 0→ 2x x 0→ 2x

= 2× 0= 0

Οπότε η f είναι παραγωγίσιμη στο χ 0=0 με f'(0)=1

β )

Είναι

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017