Page 13 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 13

Θα εξετάσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f στη θέση
χ 0 του πεδίου ορισμού της.
Για χ χ 0
(το χ πλησιάζει οριακά το χ 0)

● Το σημείο Γ, κινούμενο οριζόντια, πλησιάζει οριακά το ση-
μείο Β .

● Το σημείο Α, κινούμενο πάνω στη καμπύλη, πλησιάζει ορια-
κά το σημείο Β .

● Η ευθεία (ε) πλησιάζει οριακά την ευθεία (εφ), που είναι η
“οριακή θέση” της.

Δηλαδή, οριακά, η ευθεία (εφ) έχει ένα μόνο κοινό σημείο με
τη καμπύλη και σύμφωνα με την Ευκλείδεια Γεωμετρία , α-
ποτελεί την εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο της Β.
Το χαρακτηριστικό αυτής της περίπτωσης είναι ότι η εφα-
πτομένη της C f στο σημείο της Β(χ 0, f(χ 0)) είναι οριζόντια
(έχει κ λ ίση ίση με 0 και είναι παράλληλη στον άξονα χ’χ) και
ισχύει f’ ( χ 0)=0 ο π ότ ε η εξίσωση της εφαπτ ο μένης γίνεται :

y-f(χ 0)=f’ ( χ 0)(x-χ 0)`y-f(χ 0)=0`y=f(χ 0).

Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f, στο σχ.10, έχει τύπο
f(x)=x -5x+4, x
2
που είναι συνεχής στο χ 0=2,5.
f(2 ,5 ) 2 ,5 2 5 2 ,5 4 2 ,25

f(x)-f(2 ,5 ) χ 2 5x+4+2 ,25 χ -5x+6,25
2
lim lim lim
x 2 ,5 x-2 ,5 x 2 ,5 x-2 ,5 x 2 ,5 x-2 ,5
(χ-2,5) 2
lim lim (χ-2,5) 2,5-2,5= 0
x 2 ,5 x-2 ,5 x 2 ,5

Άρα f’(2,5)=0 και η εξίσωση της εφαπτομένης γίνεται :
y-f(2,5)=f’(2,5)(x-2,5)`y-f(2,5)=0
`y=f(2,5)`y=-2,25

Δηλαδή η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Β(2,5, f(2,5))
είναι οριζόντια και παράλληλη στον αξονα χ’χ.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017