Page 319 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 319

ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ ΤΗΣ f(x)=0 - ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Δ ο σ μ έ ν α

● Τύπος ή σχέση της συνάρτησης f ...

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η

Στη περίπτωση “ εύρεση ριζών της εξίσωσης f(x)=0 ... “
● μελετούμε τη μονοτονία της συνάρτησης f
● βρίσκουμε στη θέση χ=χ 0 , ολικό ακρότατο ίσο με 0

● το χ 0 είναι μοναδική λύη της εξίσωσης f(x)=0 αφού
f(χ 0 )=0

Στη περίπτωση “ εύρεση προσήμου της f ... χ Α ... “
● μελετούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f, όπως στα
προηγούμενα και εξετάζουμε τις περιπτώσεις
● αν η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση χ 0 , που είναι
αρνητικό, τότε f(x)<0 για κάθε χ Α

● αν η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση χ 0 , που είναι
θ ε τικό, τότε f(x)>0 για κάθε χ Α
● αν η f παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση χ 0 , με
f(χ 0 )=0, τότε f(x) 0 για κάθε χ Α

● αν η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση χ 0 , με
f(χ 0 )=0, τότε f(x) 0 για κάθε χ Α

Στη περίπτωση “ απόδειξη ανισοτήτων f(x) g(x)... “
● θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)=f(x)-g(x)
● μελετούμε τα ακρότατα της συνάρτησης h
● αν h(χ 0 )=0, όπου α μέγιστη-ελάχιστη τιμή της συνάρ-

τησης h, τότε
h(x)=f(x)-g(x) h(χ 0 )=0 -
h(x)=f(x)-g(x) h(χ 0 )=0
συνεπώς
f(x) g(x) - f(x) g(x)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017