Page 322 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 322

3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ
Για καθε χ<1, να απόδειξετε ότι
(1-x) e 1
x

● Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)= (1-x) e -1
x

● Πεδίο ορισμού :
Α= (- , 1)

● Για κάθε χ (- , 1)

● η f είναι συνεχής
(πράξεις συνεχών)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με
)
x
f'(x)=(( 1-x × e -1)'
)
(
=( 1-x)' e + 1-x (e )'
x
x
(
)
=-e + 1-x e x
x
=-e +e -x e x
x
x
=-x e x
● f'(x) 0`-x e 0`
x
x 0
f'(x)<0`-x e <0`
x
0<x<1
πίνακας προσήμου της f'
και μονοτονία της f φαί-
νονται στο διπλανό πίνακα
● H f γνησίως αύξουσα σ τ o διάστημα (- , 0] και γνησίως
φθίνουσα σ τ o διάστημα [0, 1], ενώ παρουσιάζει ολικό ε λ ά-

χιστο στη θέση χ=0 με τιμή
f(0)= (1-0) e -1= 1-1` f(0)=0
0

Άρα, για χ (- , 1)
f(x) f(0)=0` (1-x) e -1 0` (1-x) e x 1
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017