Page 326 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 326

2. ΜΗ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
f(x)=e (x -x+2)
x
2
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

● Πεδίο ορισμού :
Α=

● Για κάθε χ
● η f είναι συνεχής
(πράξεις συνεχών)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με

x
2
f'(x)=(e (x -x+2))'
=(e x )'(x -x+2)+
2
+e x -x+2 )'
(
2
x
= e (x -x+2)+
x
2
e (x +x+1) (1)
+
(
e 2x-1) = e (x -x+2+2x-1) = x 2
x
2
x

● Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζ ε ι ακρότατο στη
θέση χ 0
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο , άρα και στο χ 0
Έτσι η (1) δίνει
f'(x )= e (x 2 + x +1) (2)
x
0 0 0
● H συνάρτηση f είναι :
● Ο ρ ι σ μ έ ν η στο
● Π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε εσωτερικό σημείο χ 0 του
● Παρουσιάζει τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ α τ ο στο χ 0

τότε σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει:
(2)
x
f'(x )= 0~ e (x 0 2 +x +1)= 0, που είναι άτοπο, αφού
0
0
● e >0
x
● x 0 2 +x 0 +1>0 (Δ=1 2 4 1 1 3 0 )
Άρα, η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017