Page 328 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 328

4. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ (ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ)
Αν για κάθε χ>0 ισχυει

lnx+ a
να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α .

● Για κάθε χ>0 η δοσμένη
σχέση γ ρ άφεται

lnx+ a `

lnx+ - a 0 (1)

● Θεωρούμε τη συνάρτηση

f(x)= lnx+ - a, για κάθε

χ>0
● η f είναι συνεχής

(πράξεις συνεχών)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσιμων) με

l
f'(x)=( nx+ α -α )' = 1 - α
χ χ χ 2
● είναι

f(1)= ln1 + - a =α-α=0 (2)
1

● H συνάρτηση f είναι :
● Ο ρ ι σ μ έ ν η στο (0, + )
● Π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε εσωτερικό σημείο χ 0=1 του
(αφού είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ))
● Παρουσιάζει τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ α τ ο στο χ 0=1, αφού από

τις (1), (2)

lnx+ - a 0 ` f(χ) 0 ` f(x) f(1)

τότε σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει:
1 α
f'(1)= 0~ - = 0 ~ 1 α = 0 ~α= 1
1 1 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017