Page 323 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 323

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
Στη περίπτωση “ εύρεση κρίσιμων σημείων ... “
● βρίσκουμε τη παράγωγο της συνάρτησης f
● προσδιορίζουμε τα εσωτερικά σημεία των διαστημάτων
του πεδίου ορισμού, στα οποία
● η f δεν παραγωγίζεται

● η f' μηδενίζεται
Στη περίπτωση “ πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων ... “
● τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης f
● τα κλειστά άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού
της f

Στη περίπτωση “ ... f, δεν παρουσιάζει ακρότατα ... “
● ... σε άτοπο απαγωγή
● υποθέτουμε ότι υπάρχει εσωτερικό σημείο του πεδίου
ορισμού χ 0 , στο οποίο η f παρουσιάζει ακρότατο
● παραγωγίζουμε τη δοσμένη σχέση και αντικαθιστούμε
το χ με χ 0

● από τη σχέση f'(χ 0 )=0 καταλήγουμε σε άτοπο
● αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνήσια μονότονη στο πεδίο
ορισμού της
Στη περίπτωση " από γνωστή ανισότητα να προκύπτει
ισότητα ... “
● ..βρίσκουμε τοπικό ακρότατο της f σε εσωτερικό σημείο
χ 0

● ... δείχνουμε ότι η f ειναι παραγωγίσιμη στο χ 0
● από θ. Fermat ... f'(χ 0 )=0 και ... το ζητούμενο
Σχόλιο: Τα παραπάνω ακολουθούμε, αν από γνωστή ανισό -
τητα θέλουμε να βρούμε παράμετρο.

Στη περίπτωση " απόδειξη σταθερής συνάρτησης ... “
● ... Θ.Ε.Τ. ... υπάρχει μέγιστη τιμή Μ, ελάχιστη μ
● ... θ. Fermat ... εσωτερικό σημείο χ 0 ... f'(χ 0 )=0
● ... αποδεικνύουμε ότι Μ=μ=c, c σταθερά και ... f(χ)=c

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017