Page 320 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 320

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. ΕΞΙΣΩΣΗ
Να λύσετε την εξίσωση
x lnx= 2x-e

● Θεωρουμε τη συνάρτηση :
f(x)=x lnx-2x+e
● Πεδίο ορισμού :
Α= (0, + )
● Για κάθε χ (0, + )
● η f είναι συνεχής
(πράξεις συνεχών)

● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με
f'(x)=( x lnx-2x+e)'

=( x)' lnx+x (lnx)'-2

= lnx+x 1 -2
x
= lnx+1-2

n
= l x-1
● f'(x) 0`lnx 1`x e
f'(x)<0`lnx<1`0<x<e
πίνακας προσήμου της f'
και μονοτονία φαίνοντα
στο διπλανό πίνακα
● H f γνησίως φθίνουσα σ τ o διάστημα (- , e] και γνησίως
αύξουσα σ τ o διάστημα [e, + ), ενώ παρουσιάζει ολικό ε λ ά-
χιστο στη θέση χ=e με τιμή

f(e)= e lne-2e+e = e-2e+e` f(e)=0
Δηλαδή
η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο με τιμή 0, μόνο για χ=e, που
α π οτελεί και τη μοναδική λύση της εξίσωσης
f(x)=0` x lnx-2x+e=0` x lnx=2x-e

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017