Page 321 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 321

2. ΡΊΖΕΣ - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Να βρείτε το πρόσημο και τις ρίζες της συνάρτησης f με
f(x)=3x lnx+x -6x+5
3

● Πεδίο ορισμού:Α=(0, + )
● Για κάθε χ (0, + )
● η f είναι συνεχής
(πράξεις συνεχώ ν )
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-

μων) με
f'(x)=( 3xlnx+x -6x+5)'
3
= 3( x)' lnx+3x (lnx)' +

2
+3x -6
1
2
= 3lnx+3x +3x -6
x
= 3lnx+3+3x -6 = 3(lnx+x -1 )
2
2

● f'(x) 0`lnx+x -1 0`
2
x 1
f'(x)<0` lnx+x -1<0`
2
x<1
πίνακας προσήμου της f'
και μονοτονία φ α ίνοντα
στο διπλανό πίνακα
● H f γνησίως φθίνουσα σ τ o διάστημα (- , 1] και γνησίως α ύ -
ξουσα στo διάστημα [1, + ), ενώ παρουσιάζει ολικό ε λ άχιστο
στη θέση χ=1 με τιμή

f(1)= 3 1 ln1+1 -6 1+5 = 1-6+5` f(1)=0
3
Δηλαδή
η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο με τιμή 0, οπότε
● f(1)=0 και η χ = 1, α π οτελεί τη μοναδική λύση της εξίσωσης
f(x)=0
● ισχύει για
f
● 0<χ<1 ~ f(χ)>f(1)~f(x)>0
f
● χ>1 ~ f(χ)>f(1)~f(x)>0
Άρα f(x) 0 για κάθε χ (0, + )

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017