Page 327 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 327

3. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΙΣΟΤΗΤΑΣ (ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ)
Αν για κάθε χ ισχύει
α x x+1 με 0 < α 1
να αποδείξετε ότι ισχύει α = e .

● Για κάθε χ η δοσμένη
σχέση γ ρ άφεται
α x x+1`
α - x - 1 0 (1)
x

● Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)= α -x-1, για κάθε
x
χ
● η f είναι συνεχής

(πράξεις συνεχών)
● η f είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με
f'(x)=(α -x-1 )'
x

= α x lnα- 1
● είναι
0
f(0)= α -0-1=1-1=0 (2)

● H συνάρτηση f είναι :
● Ο ρ ι σ μ έ ν η στο
● Π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε εσωτερικό σημείο χ 0=0 του
(αφού είναι παραγωγίσιμη στο )
● Παρουσιάζει τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ α τ ο στο χ 0=0, αφού από
τις (1), (2)
x
α -x-1 0`f(χ) 0`f(x) f(0)

τότε σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει:
f'(0)= 0~ α 0 lnα -1= 0
~ 1 lnα = 1

~ lnα= l ne
~ α= e

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017