Page 329 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 329

5. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ (ΑΠΟ f'(x 0 )=0)
Δίνεται η συνάρτηση f: που είναι παραγωγίσιμη στο
2-x
και ικανοποιεί τη σχέση e f(x) 1+2συν(πχ)
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο ση-
μείο Α(2,3).

● Α C f τότε f(2)=3 (1)
● Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)= e 2 - x f(x)-1-2συν(πχ),
για κάθε χ
● η h είναι συνεχής
(πράξεις συνεχών)

● η h είναι παραγωγίσιμη
(πράξεις παραγωγίσι-
μων) με
h'(x)=( e 2 -x f x -1-
( )
-2συν(πχ))'

( )
=( e 2 -x )' f x +e 2 -x
( )

f' x +2ημ(πχ) (πχ)'
= e 2 -x (2-x )' f x
( )+

+e 2 -x f' (x) +2π ημ(πχ)
( )+e
= e 2 -x f x 2 -x f' (x +2π ημ( χ)
)
π
-
● η h είναι παραγωγίσιμη και στο χ 0=2 με
h'(2)=-e 2-2 f ( )2 +e 2-2 f' ( )2 +2 ημ(2π) =...=f(2' ) -3
● h(2)= e 2 - 2 f(2)-1-2συν(2π)= f(2)-1-2=3-3=0
● Για κάθε χ η δοσμένη σχέση δίνει
e 2 - x f(x) 1+2συν(πχ)` e 2 - x f(x)-1-2συν(πχ) 0`
h(x) h(2) (2)
● H συνάρτηση h είναι :
● Ο ρ ι σ μ έ ν η στο (0, + )
● Π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σε εσωτερικό σημείο χ 0=2 του

(αφού είναι παραγωγίσιμη στο )
● Παρουσιάζει τ ο π ι κ ό α κ ρ ό τ α τ ο στο χ 0=2, α π 'τη (2)
τότε σύμφωνα με το θεώρημα Fermat ισχύει:
h'(2)= 0~ f'(2) -3 = 0 ~ f'(2)= 3 (3)
Στο σημείο A(2, 3) και λόγω των (1), (3) η ζητούμενη
εξίσωση είναι y-3=3(x-2)` y-3=3x-6` y=3x-3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017