Page 332 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 332

2. ΜΕΓΙΣΤΑ – ΕΛΑΧΙΣΤΑ (ΑΛΓΕΒΡΑ)
Το γινόμενο δύο θετικών αριθμών x, y ισούται με 16.
α) Να εκφράσετε το άθροισμα των αριθμών σε συνάρτηση
με το χ.

β ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το άθ -
ροισμα του και να προσδιορίσετε πότε αυτό συμβαίνει.

α )
Για τους θετικούς αριθ-
μούς x και y έχουμε:
16
x× y 16 y , x 0 (1)
x
Αν S το άθροισμα των α-
ριθμών, θα ισχύει:
2
(1 ) 16 x +16
S= x+y =x+ =
x x
Επομένως, σε συνάρτηση

με το χ
x +16
2
S(x)= , x> 0
x
β )
Για κάθε x 0, έχουμε:
x +16 (x +16)'× x-(x +16)×(x)' (2x+0 )× x-(x +16)× 1
2
2
2
2
S'(x)= ' = =
x x 2 x 2

2
2x -x -16 x -16
2
2
= =
x 2 x 2
● S'(χ)=0`χ -16=0`χ=4
2
(χ>0)
S'(χ)<0` χ<4
S'(χ)>0` χ>4
To π ρ όσημο της S' και η μ ο -
νοτονία της S φαίνονται στο
διπλανό πίνακα
● Η S είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0,4]
● Η S είνα ι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [4,+þ]
4 +16
2
● Η S παρουσιάζει ελάχιστο για χ=4 με τιμή S (4)= =8
4
Για χ=4 η (1) δινει y=4
Άρα, το άθροισμα των x, y γίνεται ελάχιστο όταν x= y =4.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017