Page 359 - diaforikos
P. 359

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             359




                      2. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑΣ - JENSEN
                      Δίνεται η συνάρτηση f:                  με τύπο :
                      f(x)=e
                               x

                      Να αποδείξετε ότι  2 e       2  <e +e   για κάθε a,β


                   ● Πεδίο ορισμού : Α=
                   ● Για κάθε χ

                       ● η f είναι συνεχής
                         (βασική)
                       ● f είναι δύο φορές πα-
                         ραγωγίσιμη (βασική) με
                         ●  f'(x)=(e )' =e
                                    x
                                          x
                                     x
                                           x
                         ●  f''(x)=(e )' =e  >0
                         συνεπώς η f είναι κυρ-
                         τή και η f' είναι γνησίως
                         αύξουσα
                   ● Εφαρμόζουμε το θεώρη-
                      μα μέσης τιμής για την f
                                                α+β       α+β
                      στα διάστήματα [α ,            ], [       , β] οπότε υ π άρχουν
                                                 2          2
                               α+β             α+β
                      ξ 1   (α,     ) , ξ 2   (      , β) τέτοια ώστε
                                2                2
                                   α+β                                       α+β
                                f(      )-f(α)                     f(β)-f(        )
                      f'(ξ 1) =     2             και  f'(ξ 2) =               2
                                      β-α                                β-α
                                       2                                  2
                                                         α+β               α+β
                                                                     β
                              f'                       e  2  -e α   e -e   2          α+β
                                                                                                  β
                   ● ξ 1<  ξ  2    f'(ξ 1)<f'(ξ 2)~              <             ~ 2e    2  <e +e
                                                                                             α
                                                         β-α          β-α
                                                           2            2
                   Ε ν α λ λ α κ τ ι κ ά
                   ...  συνεπώς η f είναι κυρτή και η f' είναι γνησίως αύξουσα
                   ● α π οδεικνύουμε τη βασική π ρ όταση (f κυρτή)
                        α+β      f(α)+f(β)
                       f      <                  (1)
                          2           2
                   ● f(x)=e  οπότε η (1)
                              x
                       α+β  e +e            α+β
                      e  2  <         `  2e  2  < e +e
                                                         β
                                                    α
                               2



                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   354   355   356   357   358   359   360   361   362   363   364