Page 356 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 356

AΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ - ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ -JENSEN

Δ ο σ μέ ν α

● ανισοτικήη σχέση ...

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
Στη περίπτωση “ απόδειξη ανισότητας ... εφαπτομένη ... “
● Μετασχηματίζουμε τη δοσμένη (ζητούμενη) ανισοτική
σχέση κατάλληλα ώστε στο ένα μέλος (Α) να υπάρχουν
όροι βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του 2 και στο άλλο μέ -
λος (Β) πρωτοβάθμιοι και μηδενικού βαθμού όροι
● Θεωρούμε το μέλος (Α) σαν συνάρτηση, έστω h
● μελετούμε τη κυρτότητα της συνάρτησης h, σύμφωνα
με τα προηγούμενα
● Απόδεικνύουμε ότι το μέλος (Β) αποτελεί την εξίσωση

της εφαπτομένης, έστω (ε), της C h σε κάποιο σημείο της
● Aν η h είναι
● κυρτή, τότε ισχύει : h(x) (ε )
● κοίλη, τότε ισχύει : h(x) (ε )
οι παραπάνω ανισότητες δίνουν το ζητ ούμενο
Στη περίπτωση “ απόδειξη ανισότητας ... Jensen ... “
● Προσδιορίζουμε τη συνάρτηση f (αν δεν δίνεται)

● μελετούμε τη κυρτότητα της συνάρτησης f
● Aν η προς απόδειξη ανισότητα είναι μία μορφή της
ανισότητας; Jensen
● είτε χρησιμοποιούμε το συμπέρασμα της ανισότητας
Jensen, αφού πρώτα το αποδείξουμε
(δες βασικές προτάσεις)
● είτε από Θ.Μ.Τ. σε κατάλληλα διαστήματα για τη συν -
άρτηση f και με τη βοήθεια της μονοτονίας της f' (από
κυρτότητα) προκύπτει το ζητούμενο
(ουσιαστικά κάνουμε την απόδειξη της βασικής πρότα -
σης)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017