Page 352 - diaforikos
P. 352

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                             352




                      3. ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ
                      Να βρεθούν οι τιμέ των α, β ώστε η συνάρτηση  f με τύπο
                      f(x)=α χ   5 -(4β+2)χ +(α-1)χ+1
                                                3
                      να έχει σημείο καμπής το Α(1, -4).


                   ● Πεδίο ορισμού : Α=
                   ● το Α(1, -4) είναι σημείο
                      της C f   αρα
                      f(1)=- 4

                                         3
                          5
                      α× 1 -(4β+2)× 1 +(α-1)× 1+
                      +1=- 4

                      α-4β-2+α-1+1 =- 4

                      2α-4β=- 2

                      α= 2β- 1    (1)
                   ● Για κάθε χ
                      f είναι δύο φορές παρα-
                      γωγίσιμη (πολυωνυμική) με
                      ●  f'(x)=5αx -3(4β+2)x +(α-1)
                                                       2
                                      4
                                                        2
                                                                               3
                      ●  f''(x)=(5αx -3(4β+2)x +(α-1)  )'  =20αx -6(4β+2)x
                                       4

                   ● για να έχει σημείο καμπής το Α(1, -4) η f πρέπει
                      f"(x )=0      f"(1)=0      20α-6(4β+2)=0              5α-6β-3=0
                           0
                                 (2)
                                          5(2β-  1)-6β-3=0      10 -5-6β-3=0              β= 2
                      Από (1):    α=2×2-  1       α=3

                   ● για α=3 και β=2 είναι
                       f"(x)=60x -60x=60x(x -1)
                                                        2
                                    3
                      και το πρόσημο της είναι










                   H f''(x) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 1.



                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   347   348   349   350   351   352   353   354   355   356   357