Page 355 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 355

6. ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
f(x)=xe - vx , χ όπου ν μη μηδενικός φυσικός αριθμός
Να μελετήσετε τη μονοτονία της f και να βρείτε τα ακρό-
τατα και τα σημεία καμπής της .

● Πεδίο ο ρ ισμού : Α=
● Για κάθε χ
● f'(x)=(xe - v x )'
=(x)'e - vx + x(e - vx )'
=e - vx + x(-νe - v x )
=e - vx -νχe - vx
=e - vx (1-νχ)
● f''(x)=( e - vx (1-νχ))'
=( e - vx )'(1-νχ)+
+ e - vx (1-νχ)'

=-νe - vx (1-νχ)+
+ e - vx (-ν)
=-νe - vx (1-νχ)-ν e - vx =-νe - vx (2-νχ)=νe - vx (νχ -2)
1
● f'(x)=0 ` e - vx (1-νχ)=0`1-νχ=0`1=νχ ` χ=

2
● f''(x)=0 ` νe - vx (νχ -2) =0` νχ -2 = 0 ` νχ = 2` χ =
Το πρόσημο των f', f'' και κυρτότητα της C f φαίνονται παρα-
κάτω
1 1 -v× 1 1 1
● f e ν e -1
ν ν νe

2 2 -v× 2 2 2
● f e ν e -2
ν ν νe 2
● H f είναι γνησίως αύξου-
1
σα στο (- , ], γνησίως

1
φθίνουσα στο [ , + ) και

1 1 1
παρουσιάζει ολικό μέγιστο στη θέση το A( , ) ενώ
νe
2 2
παρουσιάζει καμπή στο σημείο B( , )
νe 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017