Page 69 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 69

Θ Ε Ω Ρ Ι Α ...

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, τότε η

συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:
( f + g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) + g ’ ( x 0 )
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για χ x 0 είναι
(f+g)(x)-(f+g)(x ) f(x)+g(x)-f(x )-g(x )
0
0
0
x-x x-x
0
0 f(x)-f(x ) g(x)-g(x )
0 0
x-x 0 x-x 0
Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, οπότ ε
lim (f+g)(x)-(f+g)(x ) lim f(x)-f(x ) lim g(x)-g(x )
0
0
0
x x 0 x-x 0 x x 0 x-x 0 x x 0 x-x 0
f'(x )+g'(x )
0 0
δηλαδή
( f + g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) + g ’ ( x 0 )

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ'ένα διάστημα Δ,
τότε για χ Δ ισχύει:

( f + g ) ’ ( x ) = f ’ ( x ) + g ’ ( x )
O πιο πάνω τύπος ισχύει και για περισσότερες από δύο συν-

αρτήσεις, με τη προυπόθεση όλες να είναι παραγωγίσιμες

στο Δ.
Δηλαδή ισχύει:

(f +f +... +f )'(x ) = f x +f 2 '( x ) +... +f κ '( x
'(
)
)
κ
1
2
1

Π α ρ α τ ή ρ η σ η

 Η πιο πάνω πρόταση ισχύει και για την διαφορά,

δηλαδή:
( f – g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) – g ’ ( x 0 )

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017