Page 71 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 71

Π α ρ α τ ή ρ η σ η

 Η πιο πάνω πρόταση ισχύει αν η μία συνάρτηση είναι
σταθερή,
δηλαδή:
( λ × f ( x ) ) ’ = λ × f ’ ( x ) με λ Δ.

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΠΗΛΙΚΟΥ
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, και
f

g(x 0) ≠ 0, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x 0

και ισχύει:
f '(x )= f '(x )× g(x )-f(x )× g '(x )
0
0
0
0
0
g [g(x )] 2
0
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Παραλείπεται

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ'ένα διάστημα Δ,
τότε για χ Δ ισχύει g(x) 0, τότε για κάθε χ Δ:

f '(x)= f '(x)× g(x)-f(x)× g '(x)

g [g(x)] 2
Π α ρ α τ ή ρ η σ η

1 '(x)= f '(x)

2
f f (x)

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο g(x 0) και x 0
αντίστοιχα, τότε η συνάρτηση f ∘ g είναι παραγωγίσιμη στο
x 0 και ισχύει:
( f ∘ g ) ’ ( x 0 ) = [ f ( g ( x 0 ) ) ] ’ = f ’ ( g ( x 0 ) ) ∙ g ’ ( x 0 )

ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ

 Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σ'ένα διάστημα Δ και η

f είναι παραγωγίσιμη στο g( Δ ) , τότε η συνάρτηση f∘g είναι

παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει:

( f ∘ g ) ’ ( x ) = [ f ( g ( x ) ) ] ’ = f ’ ( g ( x ) ) ∙ g ’ ( x )

Π α ρ α τ ή ρ η σ η

 Αν u=g(x), τότε (f(u))'=f'(u)×u'

Mε το συμβολισμό του Leibniz, για y=f(u) και u=g(x), έχουμε

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017