Page 70 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 70

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, τότε η
συνάρτηση f × g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

( f × g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) × g ( x 0 ) + f ( x 0 ) × g ’ ( x 0 )
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Για χ x 0 είναι
(f g)(x)-(f g)(x ) f(x) g(x)-f(x ) g(x )
0 0 0
x-x 0 x-x 0
f(x) g(x) -f(x ) g(x)+f(x ) g(x) -f(x ) g(x )
0
0
0
0
x-x 0
f(x)-f(x ) g(x)-g(x )
x-x 0 × g(x) f(x )× x-x 0
0
0 0
Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, άρα και
συνεχ ε ίς, οπότ ε
lim (f× g)(x)-(f+g)(x )
0
x x 0 x-x 0
f(x)-f(x ) g(x)-g(x )
x lim 0 x-x 0 × lim g(x) x lim f(x)× lim 0 x-x 0
x
x
x
x
x
x
0
0
0 0
f'(x )× g(x )+f(x )× g'(x )
0
0
0
0
δηλαδή
( f × g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) × g ( x 0 ) + f ( x 0 ) × g ’ ( x 0 )

Σ Υ ΝΕΠΕΙΕΣ
 Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ'ένα διάστημα Δ,

τότε για χ Δ ισχύει:
( f × g ) ’ ( x ) = f ’ ( x ) × g ( x ) + f ( x ) × g ’ ( x )

O πιο πάνω τύπος ισχύει και για περισσότερες από δύο συν-

αρτήσεις, με τη προυπόθεση όλες να είναι παραγωγίσιμες
στο Δ.

Δηλαδή ισχύει:
(f × f ×... × f )'(x)
κ
1 2
= f '(x)× f (x)...f (x)+f (x)× f '(x)...f (x)+... +f (x)× f (x)...f '(x)
κ
2
1
2
κ
κ
1
1
2
Για παράδειγμα, αν έχουμε τρεις παραγωγίσιμες συναρτή-

σεις f, g και h ισχύει:
(f× g× h)'(x)=(f(x)× g(x)× h(x))'

= f'(x)× g(x)× h(x)+f(x)× g'(x)× h(x)+f(x)× g(x)× h'(x)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017