Page 70 - diaforikos
P. 70

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός                                  70





                      ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ  ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ
                      Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, τότε η
                      συνάρτηση f × g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει:

                      ( f × g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) × g ( x 0 ) + f ( x 0 ) × g ’ ( x 0 )
                      ΑΠΟΔΕΙΞΗ
                      Για χ     x 0  είναι
                      (f g)(x)-(f g)(x )        f(x) g(x)-f(x ) g(x )
                                            0                     0       0
                               x-x  0                      x-x  0
                                                  f(x) g(x) -f(x ) g(x)+f(x ) g(x) -f(x ) g(x )
                                                                       0
                                                        0
                                                                                      0
                                                                                             0
                                                               x-x  0
                                     f(x)-f(x )                    g(x)-g(x )
                                                  x-x  0  × g(x) f(x )×  x-x   0
                                                                0
                                              0                             0
                      Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0, άρα και
                      συνεχ ε ίς, οπότ ε
                       lim  (f× g)(x)-(f+g)(x )
                                                 0
                      x     x 0     x-x  0
                             f(x)-f(x )                                g(x)-g(x )
                        x   lim 0  x-x   0  × lim g(x)  x   lim f(x)× lim 0  x-x   0
                                                                      x
                                                           x
                                                                   x
                           x
                                            x
                                               x
                                                           0
                                               0
                                      0                                         0
                        f'(x )× g(x )+f(x )× g'(x )
                                    0
                                             0
                                                     0
                             0
                      δηλαδή
                      ( f × g ) ’ ( x 0 ) = f ’ ( x 0 ) × g ( x 0 ) + f ( x 0 ) × g ’ ( x 0 )


                   Σ    Υ  ΝΕΠΕΙΕΣ
                    Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες σ'ένα διάστημα Δ,

                      τότε για χ    Δ ισχύει:
                      (  f × g ) ’ ( x ) = f ’ ( x ) × g ( x ) + f ( x ) × g ’ ( x )

                      O πιο πάνω τύπος ισχύει και για περισσότερες από δύο συν-

                      αρτήσεις, με τη προυπόθεση όλες να είναι παραγωγίσιμες
                      στο Δ.

                      Δηλαδή ισχύει:
                      (f × f ×... × f )'(x)
                                  κ
                        1  2
                      = f '(x)× f (x)...f (x)+f (x)× f '(x)...f (x)+... +f (x)× f (x)...f '(x)
                                                               κ
                                                       2
                                                                           1
                                                                                  2
                                                                                          κ
                                        κ
                                                1
                         1
                                2
                      Για παράδειγμα, αν έχουμε τρεις παραγωγίσιμες συναρτή-

                      σεις f, g και h ισχύει:
                      (f× g× h)'(x)=(f(x)× g(x)× h(x))'

                                                  = f'(x)× g(x)× h(x)+f(x)× g'(x)× h(x)+f(x)× g(x)× h'(x)


                                                     Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   65   66   67   68   69   70   71   72   73   74   75