Page 15 - olokliroma

15
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

4. ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
f(x)= 2e x ημx
Να βρείτε την αρχική F της συνάρτησης f αν είναι γνωστό
ότι το γράφημα της F διέρχεται από το σημείο Α(0, -1).

Είναι διαδοχικά για κάθε
χ

F'(x)= f(x)= 2e ημx
x
= e ημx+e ημx-
x
x
- e συνx+e συνx
x
x
= e (ημx-συνx)+
x
+e x συνx-(-ημx)

= e (ημx-συνx)+
x
+e x (ημx)'-(συνx)'

=(e )'(ημx-συνx)+
x

+e (ημx-συνx)'
x
= e (ημx-συνx) ' (1)
x
Έχουμε

(1)
F'(x)=f(x) ` F' (x)= e (ημx-συνx) '
x
` F (x)=e (ημx-συνx)+c, c (2)
x
Όμως η C F διέρχεται από το Α(0, -1), συνεπώς

F(0)=-1 και λόγω της (2) δίνει
F(0) 1 ` e (ημ0-συν0)+c= 1 ` 1 (0-1)+c= 1 ` -1+c= 1
0
` c=0
Συνεπώς η (2):
F (x)=e (ημx-συνx)
x
που είναι η ζητούμενη αρχική συνάρτηση.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017