Page 16 - olokliroma

16
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

5. ΕΥΡΕΣΗ ΑΡΧΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
f(x)= ημx-συνx-1 με χ {x| x (2κ+1)π}
(1+συνχ) 2
Να βρείτε την αρχική F της συνάρτησης f αν είναι γνωστό
ότι F(0)= 1 .
2

Είναι διαδοχικά για κάθε
χ { x| x (2κ+1)π}

ημx-συνx-1
f(x)=
(1+συνχ) 2
2
= -συνx-συν x
(1+συνχ) 2

ημx η - 2 χμ
+
(1+συνχ) 2

-συνx×(1+συνχ)
=
(1+συνχ) 2
(1-ημx)(-ημχ)
-
(1+συνχ) 2
(1-ημx)'(1+συνχ) (1-ημx)(1+συνχ)'

=
(1+συνχ) 2
1-ημx
= ' (1)
1+συνχ
Έχουμε

(1) 1-ημx 1-ημx
F'(x)=f(x) ` F' (x)= ' ` F (x)= +c, c (2)
1+συνχ 1+συνχ
1
Όμως F(0)= και λόγω της (2) δίνει
2
1 1-ημ0 1 1-0 1 1 1
F(0)= ` +c= ` +c= ` +c= ` c= 0
2 1+συν0 2 1+1 2 2 2
Συνεπώς η (2):
1-ημx
F (x)=
1+συνχ
που είναι η ζητούμενη αρχική συνάρτηση.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017