Page 21 - olokliroma

21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

10. ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΠΡΟΒΛΗΜΑ)
Σημείο κινείται πάνω σε καμπύλη και η ταχύτητα του κάθε
χρονική στιγμή δίνεται απ'τη συνάρτηση:
υ(t)=t -2t+1 (1), t 0 με t σε ώρες.
2

Αν στο σημείο Α(1, 1) της καμπύλης, η ταχύτητα του γίνε-
ται ίση αριθμητικά με την αντίστοιχη επιτάχυνση , να βρείτε
α) τη συνάρτηση θέσης του σημείου κάθε χρονική στιγμή
β) σημειο Β της καμπύλης, αν υπαρχει, που ταχύτητα του
γίνεται ίση αριθμητικά με την αντίστοιχη επιτάχυνση

α )

● Ανεξάρτητη μεταβλητή:

ο χρόνος t
● υ ( t)=x'(t) η ταχύτητα ή

ο ρυθμός μεταβολής της

θέσης
● α ( t) =υ'(t)=x''(t) η επι-

τάχυνση ή ο ρυθμός με-

ταβολής της ταχύτητας που είναι παραγωγίσιμη στη θέση
● υ(t)=t -2t+1
2

● α(t)=υ'(t)=(t -2t+1)'
2

=2t- 2 x''(t )

● t η χρονική στιγμή που
0
η ταχύτητα είναι ίση, αριθμητικά, με την επιτάχυνση

Έτσι
t = 1
0

υ(t)=α(t)` t 2 -2t +1= 2t 2 ` t 2 -4t +3= 0` ή
0 0 0 0 0
t = 3
0

● χ'(t)= υ(t)= t -2t+1= t 3 -t +t ' ~ χ(t)= t 3 -t +t c, c
2
2
2
3 3
3
A C ~ χ(1)= 1~ 1 -1 +1 c= 1~ c= 2
2
x 3 3
t 3 2
Άρα, χ(t)= -t +t , t 0

2
3 3
β )
Για t 0=3:

3 3 2 11 11
χ(3)= -3 2 +3 ~B 3 ,

3 3 3 3

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017