Page 19 - olokliroma

19
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Ολοκληρωτικός Λογισμός

8. ΑΡΧΙΚΗ -ΣΥΝΘΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΕΙΔΙΚΗ)
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
2lnx× x lnx
f(x)= x χ>0
Να βρείτε τις αρχικές συναρτήσεις F της συνάρτησης f .
Να βρείτε την αρχική F της συνάρτησης f αν είναι γνωστό
ότι η F είναι παραγωγίσμη και F(1)=1 .

Ισχύει:
f(x) g(x) = e lnf(x) g(x) = e g(x)lnf(x) (I) και

(f(x) g(x) )' =(e g(x)lnf(x) )' = e g(x)lnf(x) ×( g(x)lnf(x))'

= e g(x)lnf(x) ×( g'(x)lnf(x)+g(x)ln'f(x))

= e g(x)lnf(x) ×( g'(x)lnf(x)+ g(x)× f'(x) )

f(x)
(I) 1
=f(x) g(x) ×( g'(x)lnf(x)+g(x)× × f'(x)) (1)
f(x)
Έτσι

F'(x)= f(x)
2lnx× x lnx
=
x
= x lnx 2lnx

x

= x lnx lnx lnx
x
x

= x lnx ×( 1 × lnx+
x

+lnx× 1 × 1)
x

= x lnx ×( ln'(x)lnx+
1 (1)
+lnx× × x') = (x lnx )'
x
Άρα, F'(x)=(x lnx )'` F(x)=x lnx c, c

Όμως, F(1)=1 ` 1 ln1 c=1`1 0 c=1` c=0
Τελικά

F(x)=x lnx

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017